[확률분포 마을] #005 연속형 확률분포: 지수분포

안녕하세요 데잇입니다. 오늘도 이전처럼 확률분포를 마을에 살고 있는 사람으로 이미지화해 익숙해지는 과정입니다.

오늘 만나볼 분포는 푸아송 분포로 부터 도출되는 지수 분포입니다.

지수 분포(Exponential distribution)는 푸아송 가정을 따르는 사건이 한 번 발생하기 까지 걸리는 시간(간격)에 대한 분포입니다.

우리는 그녀를 푸아송 분포의 첫사랑이자 소꿉친구인 검은머리 소녀, 지수로 생각합시다! 그녀는 시간 계산이 철저한 J형 성격입니다.

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• 정의: $X \sim \lambda {exp}^{-\lambda x}$
• 의미: 발생율이 시간에 따라 고정된 사건이 한 번 발생하기 까지 걸리는 시간에 대한 분포
• 특성: Memory Less
• 관련분포: 푸아송분포 $\rightarrow$ 지수분포 $\rightarrow$ 얼랑분포, 감마분포, 베이불분포
• 키워드: 지수족, 푸아송 가정, 발생율 

 

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지수분포의 가족들

사실 지수가(家)는 매우 큰 가문이라 우리가 아는 대부분의 분포들은 지수분포의 가족에 포함됩니다. 친절하고 사이 좋은 가족들이 항상 그녀와 함께하죠. 여기서는 간단히 가족 구성원을 살펴본 후 지수분포에 대해 알아보겠습니다. 그 중에서도 가장 가까운 분포로, 얼랑분포, 감마분포, 베이불 분포가 있습니다. 각 분포와 지수분포의 관계는 다음과 같습니다.

• 지수분포의 횟수를 확장한다면
  • 지수분포: 지수분포는 사건이 한 번 발생하기 까지 걸리는 시간에 대한 분포입니다.
  • 얼랑분포: 얼랑분포는 사건이 n($\in \mathbb{N}$)번 발생하기 까지 걸리는 시간에 대한 분포입니다.
  • 감마분포: 감마분포는 사건이 $\alpha$($\in \mathbb{R}$)번 발생하기 까지 걸리는 시간에 대한 분포입니다.
• 지수분포의 발생률을 확장한다면
  • 지수분포: 지수분포는 실패율이 시간에 따라 고정된 사건이 한 번 발생하기 까지 걸리는 시간에 대한 분포입니다.
  • 베이불분포: 베이불분포는 실패율이 시간에 따라 변화하는 사건이 한 번 발생하기 까지 걸리는 시간에 대한 분포입니다.

FIGURE1. 지수분포 조감도

정의

• DEF $X \sim \lambda {exp}^{-\lambda x}$
  • 사건이 푸아송 가정을 따를 때, 다음 이벤트가 발생하기까지 걸리는 시간에 대한 확률변수이다.
    • 푸아송 가정
      1. 독립성: 어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위구간의 발생으로부터 독립적이다.
      2. 비례성: 특정 구간에서의 사건 발생확률은 그 구간의 크기에 비례한다.
      3. 비집락성: 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가깝다.
  • 즉, 정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값을 $\lambda$라고 했을 때, 그 사건이 한 번 일어나기까지 걸리는 시간은 지수 분포를 따른다.
  • 지수 분포와 포아송 분포
    • 지수: Under the Poisson model, the interval between events follows an exponential distribution.
    • 포아송: Under the Poisson model, the number of events in a period of time follows a Poisson distribution.

특성

	수식	의미
기댓값	$E(X) = \frac{1}{\lambda}$	단위 시간당 사건이 λ회 발생한다면, 사건 사이에 평균적으로 $\frac{1}{λ}$시간만큼 기다릴 것이라는 것을 의미
분산	$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
$M_t$	$(1 - \frac{t}{\lambda})^{-1}$
특성함수	$(1 - \frac{it}{\lambda})^{-1}$

응용

지수분포 사례

관계

• [푸아송 분포] 포아송 과정을 따르는 사건의 발생 간격은 지수 분포가 된다.
• [얼랑분포] 지수 분포를 여러번 반복하면, 즉 더하면 얼랑 분포가 된다.
• [감마분포] 지수 분포를 실수번 반복하면, 즉 일반화하면 감마분포가 된다. 또한 감마분포는 지수분포의 Conjugate Distribution이다.
• [베이불분포] 지수 분포의 사건 발생률이 시간에 따라 변화하는 경우 베이불 분포가 된다.

이미지

• 지수분포는 푸아송 분포의 첫사랑이자 소꿉친구인 검은머리 소녀로 시간 계산이 철저한 J형 성격이다!
• 지수분포 집에서 푸아송 분포 집으로 가기 위해서는 벽에 걸린 시계를 뒤집어 횟수 카운터로 바꾸어야 한다. 둘은 동전의 양면과 같다.
• 지수분포 집에서 얼랑 분포 집으로 가기 위해서는 카운트 다운 횟수를 한 번이 아니라 여러번 해야 한다. 지수가 중학생까지 자라서 얼랑이 된다.
• 지수분포 집에서 감마 분포 집으로 가기 위해서는 카운트 다운 횟수를 한 번이 아니라 실수번 해야 한다. 지수가 고등학생까지 자라서 감마가 된다.
• 지수분포 집에서 베이불 분포 집으로 가기 위해서는 사건의 발생률이 시간에 따라 변해야 한다. 베이불은 지수의 가장 가까운 조력자이다.